Az ötöslottó matematikája

Az elkövetkezendőkben hazánk legnépszerűbb, hosszabb időszakra vonatkoztatva a legnagyobb nyereményalappal működő szerencsejátékát veszem gorcső alá, matematikai megközelítéssel. A cikk nem jöhetett volna létre egyik középiskolai tanárom idestova négy éve megtartott alternatív matematika órája nélkül. Előrebocsátom, nem vagyok szakmabeli, a jegyzeteimet közlöm.

Ismertessük a szabályokat, Hölgyeim s Uraim!

Lássuk az alapokat. Adott 90 szám (az 5-ös lottó esetében 1-90-ig). Az alapjátékban 90 darab számból megjelölhetünk tetszőlegesen 5-öt (ma már SMS-ben, interneten is megtehetjük mindezt, nem kell beslattyogni egy lottózóba). Mindezekután részt veszünk a sorsoláson, ahol kihúznak 5 számot a 90-ből, a húzások egymástól teljesen függetlenek . Legalább 2 találat esetén vehetünk fel pénzt nyereményként, a létrejött fogadást igazoló dokumentum, számsor, SMS játéknál SIM-kártya ellenőrzése után. A nyeremény az elért találatok arányában nő. Egy játék ára 170 forint.

Lássuk mi a helyzet a nyereményekkel. A szelvényekből származó bevételt a Sz. ZRt 55%-ban saját gazdálkodásra, 45%-ban pedig a nyereményalap növelésére fordítja. A 45%-nak egy részét még csendben leadózza (tehát marad a nettó összeg), a maradékot pedig felosztja a következő nyerőosztályokba:

I. 5 találat --> 30%
II. 4 találat --> 17%
III. 3 találat --> 18%
IV. 2 találat --> 35%

Magyarán szólva, a sorsjegyekből befolyt összeg a táblázatban látható arányban gazdagítja egy adott nyerőosztály nyereményalapját. Az összegyűlt pénzbázist minden esetben felosztják, kivétel az 5 találatot, amely folyamatosan halmozódik, míg valaki el nem viszi azt, illetve le nem jár a halmozódási időszak.

Lássuk az esélyeket. Itt van ugyanis a lényeg elrejtve, a szelvénykibocsátó minden esetben nyer egy-egy lottókörön. Kezdem legfelülről. Arra, hogy ötös találatunk legyen, az esélyünk nagyon-nagyon-nagyon pici, mégpedig 1/(90 alatt az 5), vagyis 1/((90*89*88*87*86)/(1*2*3*4*5)), azaz megközelítőleg 1/44 millió (valaki mondta egyszer, ez olyan, mintha általunk megszabott időben, helyen egy adott emberrel találkoznánk). Látható azonban, hogy egy komoly lottóláz esetén, hetente 10-12 millió vásárolt szelvény mellett az egész országot vizsgálva kb egynegyed eséllyel születne telitalálatos. Továbbgondolva a valószínűségeket hasonló logika mellett, 4 találatosra ((5 alatt a 4)*(85 alatt az 1))/(90 alatt az 5) számítással 1/103000, 3-asra 1/1231, végül 2-esre 1/44,5-ös eséllyel indulhatunk.

A nyerési sanszok után lássuk azok számszerű megoszlását. 10 millió megjátszott szelvény esetén:

5 találatos: ~0,23 db
4 találatos: ~97 db
3 találatos: ~8100 db
2 találatos: ~225000 db

A fentieket (valamint azt, hogy a cég az 1 találatosokra nem fizet) figyelembe véve látható, hogy a megadott esélyek mellett az összes megjátszott szelvény 97,5%-a nem nyerő, tehát a maradék 2,5%-nyi osztozik a nyereményalapon (az 5 találatossal kapcsolatos halmozódási szabályt figyelembe véve). Lehangoló? Pedig ez csak a matematikai része a dolognak.

Előkerült az imént a lottóláz. Erről akkor beszélünk, mikor hosszabb ideig nincs 5-ös találat, így az ötös nyerőosztály pénzalapja az egekig halmozódik. Ilyenkor hirtelen mindenki rohan a lottózóba, külföldről is ideutaznak az emberek, hiába, 2, de akár 5-6 milliárd forint nem kis pénz. A halmozódásnak is van külön szabálya, mégpedig az, hogy legfeljebb egy évig halmozódhat a legfelső kategória nyereményalapja. Amennyiben az utolsó héten sincs 5 találatos, úgy a felhalmozódott összeget felosztják a következőképp:

-80%-ot a 4 találatosoknak
-10%-ot a 3 találatosoknak
-10%-ot a 2 találatosoknak

Ilyenkor a 4 találatosok aranyéletre számíthatnak, míg a másik két kategória számottevően nem profitál egy éves halmozódásból.

A sorsolások egymástól függetlenek, 2003-ban mégis megesett, hogy 22 hétig nem volt 5 találatos. Lássuk az esélyeket, példaképp. Arra hogy

-1 hétig ne legyen 5-ös: 77%
-5 hétig ne legyen 5-ös: 27%
-10 hétig ne legyen 5-ös: 7%
-15 hétig ne legyen 5-ös: 2%
-22 hétig ne legyen 5-ös: mindössze 0,3% esély van.

Mint mondtam, a sorsolások egymástól függetlenek, így ez pusztán esélylatolgatás, a véletlennek köszönhető, hogy ennyi ideig nem ikszelt senki sem sikeresen. Ezen sokan tűnődtek el egykoron, nem értette senki, hogy lehetséges hogy nincs nyerő szelvény. Pedig tiszta matematika az egész, amennyiben feltételezzük, hogy a sorsolások mindennemű manipuláció nélkül zajlanak.

Hogyan nyerjünk mégis sokat ilyen cudar esélyek mellett? Néhány tipp következik, ami a nyerési esélyünket nem növeli, ellenben lehetőséget biztosít arra, hogy amennyiben 5 találatosunk van, a megnyerhető pénzösszeg a lehető legnagyobb legyen. Amennyiben kettő vagy több öttalálatos sorsjegyet találnak, a nyereményt a fogadók közt egyenlően elosztják. Ha egy ember többször is megjátszotta ugyanazt a számötöst (gondolhatnánk, micsoda baromság), a nyereményből is a megjátszott fogadások arányában részesedik. Mit tegyünk, hogy a lehető legegyedibb 5-ös kombinációt tudhassuk magunkénak? Gondolkozzunk honfitársaink fejével. A legtöbben valamilyen tulajdonságokkal ''felruházott'' számokkal játszanak, pl.:

-szerencseszámok (13, 12, 3, stb...)
-családi dátumok, mivel egy adott napon több lottózó is születhetett (19, 80, 6, 12 tehát pl. 1980. 06.12)
-leggyakoribb, legritkább számok (a nyerőszámjegyzékből lehet kibogarászni ezeket, azonban mivel a sorsolások egymástól függetlenek, azzal nem növeljük nyerési esélyeinket, ha a legritkábban/leggyakrabban előforduló kombinációkkal játszunk)
-utolsó 2-8 hét számai (ezek a legjellemzőbbek, ''ami egyszer bejött, megint bejöhet'' elven)
-szabályok, képletek alapján kiötlött számok
-esztétikai megfontolából (például különböző minták a szelvényen)
-páratlan számok (ennek nem tudom a magyarázatát)
-1,2,3,4,5: hihetetlen, de rengetegen gondolják, hogy ezen számötössel biztosra mehetnek, ennek esélye ugyanannyi, mint bármely más számötösé, azonban vegyük figyelembe, mi van ha 10000 honfitársammal kell megosztozzak az 5-ösön!

Remélem sikerült picit elgondolkodtatnom mindenkit, sikeres lottózást kívánok kedves fórumtársaimnak!